Curvas de Bézier

Las curvas de Bézier se originan con la aparición de los polinomios de Bernstein. 

Se denominan curvas de Bézier en honor al Ing. Pierre Bézier, cuyo método se utilizó con éxito en los proyectos de CAD.

 El sistema de Curvas de Bézier se desarrolló por el año 1960, fue utilizado para trazar dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles.

Bézier, quien era ingeniero en Peugeot, desarrolla las curvas basándose en los citados polinomios de Bernstein en 1966.

 Cabe destacar que De Casteljau, ingeniero de Citroën, usó un desarrollo algorítmico en 1959. 

Se llegó a que ambas teorías eran equivalentes, pero mientras que Pierre Bézier publicó sus trabajos, el primero de ellos fue publicado en 1962, De Casteljau los mantuvo como documentos internos.

 Ambos buscaban un modo de construir curvas que respetasen el principio de invarianza afín, que no es más que dados los puntos p1,…,pn del plano o del espacio afín y una transformación afín f, buscar un método C() para construir curvas a partir de los puntos p1,…,pn que cumpla que:

 f(C(p1,…,pn))= C(f(p1),…,f(pn))

El algoritmo de De Casteljau está basado en la repetición sucesiva del ejemplo básico, que es el segmento entre dos puntos. El último paso del algoritmo de De Casteljau, b0 n (t), t € [0,1], se llama curva de Bézier y se denota por B[b0,…,bn; t], donde bi 0 , i=0… n, son los puntos de partida y bi r (t)=(1-t)bi r-1(t)+tbi+1 r-1(t). 

Los puntos b0,…,bn se llaman vértices de control y el polígono formado por los vértices de control se llama polígono de control.

 Algunas propiedades de las Curvas de Bezier 

- La curva de Bezier B[b0,…,bn; t], con n+1 vértices de control tiene grado n. - B[b0,…,bn; t] es una combinación convexa de sus vértices de control. - Cumple el principio de invarianza afín.

 - Está contenida en la envolvente convexa de los vértices de control. 

- Cumple la propiedad de la interpolación de los extremos.

 

Polinomios de Bernstein

 Son polinomios de grado n y que se suelen denotar por {B0 n (t), B1 n (t),…, Bn n (t)} 3.1. 

Propiedades de los polinomios de Bernstein

 - Bi n (t)=(1-t)Bi n-1(t) + tBi-1 n-1(t) - ∑ Bi୬(t) ௜ୀ௡ ௜ୀ଴ =1 - Para todo t del intervalo [0,1], Bi n (t) también está en el citado intervalo. 4. Representación de curvas y superficies: Curvas Bézier Ilustro algunos dibujos que nos pueden hacer ver algunas aplicaciones matemáticas con las curvas Bézier, entre otros, los siguientes, que se determinan mediante polinomios y splines: 

1. Curva Bézier nº1: un barco, representado mediante splines