Curvas de Bézier
1. Orígenes de las curvas de Bézier
Surgen a raíz de la aparición de los polinomios de Bernstein. Se denominan
curvas de Bézier a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960, para el trazado
de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Bézier, el cual era
ingeniero en Peugeot, desarrolla las curvas basándose en los citados polinomios
de Bernstein en 1966. Asimismo, De Casteljau, ingeniero de Citroën, usa un
desarrollo algorítmico en 1959. Se llegó a que ambas teorías eran equivalentes, pero
mientras que uno de ellos las publicó el otro no. De hecho, el nombre de las curvas de
Bezier se debe a que Bézier publicó sus trabajos, mientras que de Casteljau los
mantuvo como documentos internos. Ambos buscaban un modo de construir curvas
que respetasen el principio de invarianza afín, que no es más que dados los puntos
p1,…,pn del plano o del espacio afín y una transformación afín f, buscar un método C()
para construir curvas a partir de los puntos p1,…,pn que cumpla que f(C(p1,…,pn))=
C(f(p1),…,f(pn))
El algoritmo de Casteljau está basado en la repetición sucesiva del ejemplo básico, que es el segmento entre dos puntos. El último paso del algoritmo de 2 Casteljau, b0 n (t), t € [0,1], se llama curva de Bézier y se denota por B[b0,…,bn; t], donde bi 0 , i=0… n, son los puntos de partida y bi r (t)=(1-t)bi r-1(t)+tbi+1 r-1(t). Los puntos b0,…,bn se llaman vértices de control y el polígono formado por los vértices de control se llama polígono de control.
2. Algunas propiedades de las Curvas de Bezier - La curva de Bezier B[b0,…,bn; t], con n+1 vértices de control tiene grado n. - B[b0,…,bn; t] es una combinación convexa de sus vértices de control. - Cumple el principio de invarianza afín. - Está contenida en la envolvente convexa de los vértices de control. - Cumple la propiedad de la interpolación de los extremos. 3. Polinomios de Bernstein Son polinomios de grado n y que se suelen denotar por {B0 n (t), B1 n (t),…, Bn n (t)} 3.1. Propiedades de los polinomios de Bernstein - Bi n (t)=(1-t)Bi n-1(t) + tBi-1 n-1(t) - ∑ Bi୬(t) ୀ ୀ =1 - Para todo t del intervalo [0,1], Bi n (t) también está en el citado intervalo. 4. Representación de curvas y superficies: Curvas Bézier Ilustro algunos dibujos que nos pueden hacer ver algunas aplicaciones matemáticas con las curvas Bézier, entre otros, los siguientes, que se determinan mediante polinomios y splines:
El algoritmo de Casteljau está basado en la repetición sucesiva del ejemplo básico, que es el segmento entre dos puntos. El último paso del algoritmo de 2 Casteljau, b0 n (t), t € [0,1], se llama curva de Bézier y se denota por B[b0,…,bn; t], donde bi 0 , i=0… n, son los puntos de partida y bi r (t)=(1-t)bi r-1(t)+tbi+1 r-1(t). Los puntos b0,…,bn se llaman vértices de control y el polígono formado por los vértices de control se llama polígono de control.
2. Algunas propiedades de las Curvas de Bezier - La curva de Bezier B[b0,…,bn; t], con n+1 vértices de control tiene grado n. - B[b0,…,bn; t] es una combinación convexa de sus vértices de control. - Cumple el principio de invarianza afín. - Está contenida en la envolvente convexa de los vértices de control. - Cumple la propiedad de la interpolación de los extremos. 3. Polinomios de Bernstein Son polinomios de grado n y que se suelen denotar por {B0 n (t), B1 n (t),…, Bn n (t)} 3.1. Propiedades de los polinomios de Bernstein - Bi n (t)=(1-t)Bi n-1(t) + tBi-1 n-1(t) - ∑ Bi୬(t) ୀ ୀ =1 - Para todo t del intervalo [0,1], Bi n (t) también está en el citado intervalo. 4. Representación de curvas y superficies: Curvas Bézier Ilustro algunos dibujos que nos pueden hacer ver algunas aplicaciones matemáticas con las curvas Bézier, entre otros, los siguientes, que se determinan mediante polinomios y splines:
1. Curva Bézier nº1: un barco, representado mediante splines
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